Hallo teman cerdas! Mau ahli dalam polinomial? Gampang! Asal ada kemauan dan kerja keras. Polinomial gak susah dan seru dalam mengerjakannya. Seru-seru puyeng sih haha, gak deh boong. Sebelum masuk materi, jernihkan dulu pikiran dan hati agar mudah dalam mengerti dan menyerap pembelajaran kali ini. Mari sejenak melupakan mantan atau pacar yang gak peka dan beralih ke materi di bawah ini
APA ITU POLINOMIAL?
Secara generalisasi pengertian polinomial adalah persamaan suku banyak yang memiliki variabel, pangkat, koefisien, selisih dan jumlah, serta memiliki pangkat bernilai positif.a. Ciri Polinom
1. Memiliki variabel2. Memiliki pangkat
3. Memiliki koefisien
4. Dapat dioperasikan
5. Pangkatnya bernilai positif
b. Contoh Polinom
1. 2x2 + 3x +1
2. 3x2 + 2x – 7
3. 2x + 2
4. 4x3 – 2x2 + x +6
c. Bukan Polinom
1. 2x-2 + 3x +1
2. 3x-4 + 2x – 7
3. 7x- + 2
4. 23
f(x) = 5x4 + 3x2 + x – 5
OPERASI POLINOMIAL
Soal:f(x) = 5x4 + 3x2 + x – 5
g(x)
= 3x3 +5x2 –x + 3
a. Penjumlahan
f(x) + g(x)
= 5x4
+ 3x2 + x – 5 + 3x3 +5x2 –x + 3
= 5x4
+ 3x3 + 3x2 + 5x2 + x – x – 5 + 3
= 5x4
+ 3x3 + 8x2 – 2
b. Pengurangan
f(x) - g(x)
= (5x4
+ 3x2 + x – 5) – ( 3x3 +5x2 –x + 3)
= 5x4
+ 3x2 + x - 5 - 3x3
- 5x2 + x - 3
= 5x4
- 3x3 + 3x2 - 5x2 + x + x - 5 - 3
= 5x4
- 3x3 - 2x2 + 2x - 8
c. Perkalian
f(x) . g(x)
= (5x4
+ 3x2 + x – 5) ( 3x3 +5x2 – x + 3)
= 15x7
+ 25x6 – 5x5 +15x4 + 9x5 +15x4
– 3x3 +9x2 + 3x4 + 5x3 –x2
+ 3x – 15x3 – 252 + 5x – 15
= 15x7
+ 25x6 – 5x5 + 9x5 + 15x4 + 15x4
+3x4 – 3x3 +5x3– 5x3+9x2–x2–25x2+3x+ 5x–15
= 15x7
+ 25x6 + 4x5 + 33x4 – 13x3 – 17x2
+ 8x – 5
MENCARI NILAI POLINOMIAL
Soal:
f(x) = 2x3 – 3x2 + 5x +1
x = 2
a. Metode Substitusi
Metode substitusi yaitu mengganti nilai x dengan x diketahui.
f(x) = 2x3 – 3x2 + 5x +1
f(2) = 2(2)3 – 3(2)2 + 5(2) + 1
= 16 – 12 – 10
+ 1
= 15
ALGORITMA PEMBAGIAN
f(x) = p(x). h(x) + s(x)ket:
f(x) = fungsi polinomial
p(x) = pembagi polinomial
h(x) = hasil bagi polinomial
s(x) = sisa bagi polinomial
a. Cara bersusun
Soal:
2x3
– 3x2 + 5x+ 1 : x – 2
f(x) = p(x) . h(x) + s(x)
2x3
– 3x2 + 5x+ 1 = (x – 2) (2x2 + x + 7) + 15
Pembuktian:
(x – 2) (2x2 + x + 7) + 15
= 2x3 + x2 + 7x – 4x2 – 2x –
14 + 15
= 2x3 + x2 – 4x2 + 7x – 2x – 14 + 15
= 2x3 – 3x2 + 5x - 1 (terbukti)
b. Teori Horner
Soal:
2x3 – 3x2 + 5x+ 1 : x – 2
Pembagi:
x - 2 = 0
x = 2
f(x) = p(x) . h(x) + s(x)
2x3 – 3x2 + 5x+ 1 = (x – 2) (2x2 + x + 7) + 15
Pembuktian:
(x – 2) (2x2 + x + 7) + 15
= 2x3 + x2 + 7x – 4x2 – 2x – 14 + 15
= 2x3 + x2 – 4x2 + 7x – 2x – 14 + 15
= 2x3 – 3x2 + 5x - 1 (terbukti)
TEOREMA SISA
a. Teorema Sisa 1
Jika suku banyak f(x)
maka sisanya adalah f(k)
(x-k)
Soal:
3x3 – 2x2 + x – 5 : x – 2
Pembagi:
x - 2 = 0
x = 2
f(k) = 3k3 – 2k2 + k – 5
f(2) = 3(2)3 – 2(2)2 + 2 – 5
= 24 - 8 -3
= 13
Pembuktian:
Teori Horner dan Cara Bersusun
b. Teorema Sisa 2
Jika suku banyak f(x)
maka sisanya adalah f(b/a)
(ax-b)
Soal:
2x2 + 3x – 2
2x - 2
b = 2 f = (2/2)
a = 2 = 1
f(x) = 2x2 + 3x – 2
f(1) = 2(1)2 + 3(1) – 2
= 2 + 3 - 2
= 3
Pembuktian:
Teori Horner dan Cara Bersusun
c. Teorema Sisa 3
Soal:
x3 – 2x2 + x – 5
X2 – 2x – 3
jika suatu suku banyak f(x) maka bersisa p(x)+q, dimana f(a) = pa+q dan f(b) = pb+q
(x-a) (x-b)
1. Memfaktorkan
x2 – 2x – 3 = (x - 3) (x - 1)
a b
a = 3
b = -1
2. Substitusi
* f(x) = x3 – 2x2 + x – 5
f(a) = a3 – 2a2 + a – 5
f(3) = 33 – 2(3)2 + 3 – 5
= 27 - 18 + 3 - 5
=7
* f(x) = x3 – 2x2 + x – 5
f(b) = xb3 – 2b2 + b – 5
f(1) = 13 – 2(1)2 + 1 – 5
= -1 - 2 - 1 - 5
= -9
* f(x) = px + q
f(a) = p(a) + q
f(3) = p(3) + q
7 = 3p + q
3p + q = 7 ... (1)
* f(x) = px + q
f(a) = p(a) + q
f(3) = p(3) + q
7 = 3p + q
3p + q = 7 ... (1)
* f(x) = px + q
f(b) = p(b) + q
f(-1) = p(-1) + q
-9 = -p + q
-p + q = -9 ... (2)
3. Metode eliminasi dan substitusi
* 3p + q = 7
-p + q = -9 -
4p = 16
p = 4
* 3p + q = 7
3(4) + q = 7
12 + q = 7
q = 7 - 12
q = -5
4. Teorema sisa
px + q
= (4)x + (-5)
= 4x - 5
Pembuktian
TEOREMA FAKTOR
Jika suatu algoritma pembagian diuraikan suatu sisa bernilai 0 maka itulah faktornya.
f(x) = p(x) . h(x) + s(x), s(x) = 0
Soal:
* x2 - 2x - 3 f(x) = p(x) . h(x) + s(x)
(x-3) (x+1) x2 - 2x - 3 = (x + 1) (x - 3) + 0
Pembagian:
( x2 - 2x - 3) ( x + 3)
x - 3 = 0 x + 1 = 0
x = 3 x = -1
Hp { -1, 3}
* x3 + x2 – 9x – 9
x = 3
(x - 3) (x + 3)
x = 3
(x - 3) (x2 + 4x + 3)
x = -3
(x + 3) (x + 1)
Hp {-3 , -1, 3}
Oke jadi seperti itulah materi mengenai polinomial. Mudah bukan? MUDAH BANGET! terus semangat dalam belajar teman cerdas! CIAO:)