Hallo teman cerdas! Mau ahli dalam polinomial? Gampang! Asal ada kemauan dan kerja keras. Polinomial gak susah dan seru dalam mengerjakannya. Seru-seru puyeng sih haha, gak deh boong. Sebelum masuk materi, jernihkan dulu pikiran dan hati agar mudah dalam mengerti dan menyerap pembelajaran kali ini. Mari sejenak melupakan mantan atau pacar yang gak peka dan beralih ke materi di bawah ini

  APA ITU POLINOMIAL?

Secara generalisasi pengertian polinomial adalah persamaan suku banyak yang memiliki variabel, pangkat, koefisien, selisih dan jumlah, serta memiliki pangkat bernilai positif.
  

a. Ciri Polinom

1. Memiliki variabel
2. Memiliki pangkat
3. Memiliki koefisien
4. Dapat dioperasikan
5. Pangkatnya bernilai positif
  

b. Contoh Polinom

1. 2x² + 3x +1

2. 3x² + 2x – 7

3. 2x + 2

4. 4x³ – 2x² + x +6

c. Bukan Polinom

1. 2x^-2 + 3x +1

2. 3x^-4 + 2x – 7

3. 7x^- + 2

4. 2³

OPERASI POLINOMIAL

 Soal:
 f(x) = 5x⁴ + 3x² + x – 5

 g(x) = 3x³ +5x² –x + 3

a. Penjumlahan

    f(x) + g(x)

= 5x⁴ + 3x² + x – 5 + 3x³ +5x² –x + 3

= 5x⁴ + 3x³ + 3x² + 5x² + x – x – 5 + 3

= 5x⁴ + 3x³ + 8x² – 2 

b. Pengurangan

    f(x) - g(x)

= (5x⁴ + 3x² + x – 5) – ( 3x³ +5x² –x + 3)

= 5x⁴ + 3x² + x - 5 -  3x³ - 5x²  + x - 3

= 5x⁴ - 3x³ + 3x² - 5x² + x + x - 5 - 3

= 5x⁴ - 3x³ - 2x² + 2x - 8

c. Perkalian

    f(x) . g(x)

= (5x⁴ + 3x² + x – 5) ( 3x³ +5x² – x + 3)

= 15x⁷ + 25x⁶ – 5x⁵ +15x⁴ + 9x⁵ +15x⁴ – 3x³ +9x² + 3x⁴ + 5x³ –x² + 3x – 15x³ – 25² + 5x – 15

= 15x⁷ + 25x⁶ – 5x⁵ + 9x⁵ + 15x⁴ + 15x⁴ +3x⁴ – 3x³ +5x³– 5x³+9x²–x²–25x²+3x+ 5x–15

= 15x⁷ + 25x⁶ + 4x⁵ + 33x⁴ – 13x³ – 17x² + 8x – 5 

MENCARI NILAI POLINOMIAL

<sup>Untuk mencari nilai polinomial dapat dilakukan dengan 3 cara, yaitu :

Soal:</sup>

f(x) = 2x³ – 3x² + 5x +1

x = 2

^{a. Metode Substitusi}

^{Metode substitusi yaitu mengganti nilai x dengan x diketahui.}

f(x) = 2x³ – 3x² + 5x +1

f(2) = 2(2)³ – 3(2)² + 5(2) + 1

        = 16 – 12 – 10 + 1

        = 15

b. Teori Horner

Langkah pertama yaitu membuat tabel horner lalu masukan nilai koefisien secara berurutan. Cara mengoperasikannya yaitu dengan ditambah lalu di kali.

 











c. Cara Bersusun

ALGORITMA PEMBAGIAN

f(x) = p(x). h(x) + s(x)

ket:
f(x)  = fungsi polinomial
p(x) = pembagi polinomial 
h(x) = hasil bagi polinomial
s(x) = sisa bagi polinomial

a. Cara bersusun

Soal:

2x³ – 3x² + 5x+ 1 : x – 2 

 

 

f(x) = p(x) . h(x) + s(x)

2x³ – 3x² + 5x+ 1 = (x – 2) (2x² + x + 7) + 15

Pembuktian:

  (x – 2) (2x² + x + 7) + 15

= 2x³ + x² + 7x – 4x² – 2x – 14 + 15

= 2x³ + x²  – 4x² + 7x – 2x – 14 + 15

= 2x³ – 3x² + 5x - 1  (terbukti)

b. Teori Horner

Soal:

2x³ – 3x² + 5x+ 1 : x – 2

Pembagi:

x - 2 = 0

      x = 2

f(x) = p(x) . h(x) + s(x)

2x³ – 3x² + 5x+ 1 = (x – 2) (2x² + x + 7) + 15

Pembuktian:

  (x – 2) (2x² + x + 7) + 15

= 2x³ + x² + 7x – 4x² – 2x – 14 + 15

= 2x³ + x²  – 4x² + 7x – 2x – 14 + 15

= 2x³ – 3x² + 5x - 1  (terbukti)

TEOREMA SISA

a. Teorema Sisa 1

Jika suku banyak  f(x)  maka sisanya adalah f(k)

                                (x-k)

Soal:

3x³ – 2x² + x – 5 : x – 2 

Pembagi:

x - 2 = 0

      x  = 2

f(k) = 3k³ – 2k² + k – 5 

f(2) = 3(2)³ – 2(2)² + 2 – 5 

        = 24 - 8 -3

        = 13

  

        

Pembuktian:

Teori Horner dan Cara Bersusun

b. Teorema Sisa 2

Jika suku banyak  f(x)  maka sisanya adalah f(b/a)

                               (ax-b)

Soal:

2x² + 3x – 2

     2x - 2

b = 2                 f = (2/2)

a =  2                  = 1

f(x) = 2x² + 3x – 2

f(1) = 2(1)² + 3(1) – 2

       = 2 + 3 - 2

       = 3

Pembuktian:

 Teori Horner dan Cara Bersusun

c. Teorema Sisa 3

Soal:

 x³ – 2x² + x – 5

     X² – 2x – 3 

jika suatu suku banyak    f(x)       maka bersisa p(x)+q, dimana f(a) = pa+q dan f(b) = pb+q

                                       (x-a) (x-b)

1. Memfaktorkan

    x² – 2x – 3 = (x - 3) (x - 1)                             

                                     a         b

   a = 3

   b = -1

2. Substitusi

   * f(x) = x³ – 2x² + x – 5 

      f(a) = a³ – 2a² + a – 5

      f(3) = 3³ – 2(3)² + 3 – 5

          = 27 - 18 + 3 - 5

          =7

  * f(x) = x³ – 2x² + x – 5

     f(b) = xb³ – 2b² + b – 5

     f(1) = 1³ – 2(1)² + 1 – 5

          = -1 - 2 - 1  - 5

          = -9

  * f(x) = px + q 
     f(a) = p(a) + q
     f(3) = p(3) + q  
        7   = 3p + q
     3p + q = 7 ... (1)

 * f(x) = px + q 
    f(b) = p(b) + q
    f(-1) = p(-1) + q
        -9 = -p + q
    -p + q = -9 ... (2)


3. Metode eliminasi dan substitusi
    * 3p + q =  7
      -p  + q = -9  -
       4p       = 16
        p        = 4  

    *  3p    + q = 7
        3(4) + q = 7
        12     + q = 7
                     q = 7 - 12
                     q = -5

4. Teorema sisa
        px   + q
    = (4)x + (-5)
    = 4x - 5 

Pembuktian
       

TEOREMA FAKTOR

Jika suatu algoritma pembagian diuraikan suatu sisa bernilai 0 maka itulah faktornya.

f(x) = p(x) . h(x) + s(x),  s(x) = 0

Soal:

*  x² - 2x - 3                              f(x)           = p(x) . h(x) + s(x)

   (x-3) (x+1)                            x² - 2x - 3 = (x + 1) (x - 3) + 0

Pembagian:

   ( x² - 2x - 3) ( x + 3)

   x - 3 = 0              x + 1 = 0

         x = 3                     x = -1 

   Hp { -1, 3}

*   x³ + x² – 9x – 9

   

  

x = 3

(x - 3) (x + 3)

x = 3
(x - 3) (x² + 4x + 3)











x = -3
(x + 3) (x + 1)


Hp {-3 , -1,  3}

Oke jadi seperti itulah materi mengenai polinomial. Mudah bukan? MUDAH BANGET! terus semangat dalam belajar teman cerdas! CIAO:)